Question

（2013•鹽城三模）已知數列{a_n}的通項公式為a_n=-n+p，數列{b_n}的通項公式為b_n=2^n-5．設c_n=

an，an≤bn bn，an＞bn

，若在數列{c_n}中，c₈＞c_n（n∈N^*，n≠8），則實數p的取值范圍是

（12，17）

．

Answer 1

分析：由c_n表達式知c_n是a_n，b_n中的較小者，易判斷{a_n}是遞減數列，{b_n}是遞增數列，由c₈＞c_n（n≠8）知c₈是c_n的最大者，從而可知n=1，2，3，…7，8時，c_n遞增，n=8，9，10，…時，c_n遞減，進而可知a_n與b_n的大小關系，且c₈=a₈或c₈=b₈，分兩種情況討論，當c₈=a₈時，a₈＞b₇，當c₈=b₈時，b₈＞a₉，分別解出p的范圍，再取并集即可；

解答：解：當a_n≤b_n時，c_n=a_n，當a_n＞b_n時，c_n=b_n，∴c_n是a_n，b_n中的較小者，
因為a_n=-n+p，所以{a_n}是遞減數列；因為b_n=2^n-5，所以{b_n}是遞增數列，
因為c₈＞c_n（n≠8），所以c₈是c_n的最大者，
則n=1，2，3，…7，8時，c_n遞增，n=8，9，10，…時，c_n遞減，
因此，n=1，2，3，…7時，2^n-5＜-n+p總成立，
當n=7時，2^7-5＜-7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…時，2^n-5＞-n+p總成立，
當n=9時，2^9-5＞-9+p，成立，∴p＜25，
而c₈=a₈或c₈=b₈，
若a₈≤b₈，即2³≥p-8，所以p≤16，
則c₈=a₈=p-8，
∴p-8＞b₇=2^7-5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
 若a₈＞b₈，即p-8＞2^8-5，所以p＞16，
∴c₈=b₈=2³，
那么c₈＞c₉=a₉，即8＞p-9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
綜上，12＜p＜17．
故答案為：（12，17）．

點評：本題考查等差數列、等比數列的綜合、數列的函數特性，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力，考查學生邏輯推理能力，難度較大．