Question

已知m，n，s，t∈R⁺，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9，其中m、n是常數，當s+t取最小值

4

9

時，m、n對應的點（m，n）是雙曲線

x2

4

-

y2

2

=1一條弦的中點，則此弦所在的直線方程為

x-2y+1=0

．

Answer 1

分析：由題設中所給的條件m+n=2，

m

s

+

n

t

=9，其中m、n是常數，當s+t取最小值

4

9

時，求出點（m，n）的坐標，由于此點是其所在弦的中點，故可以用點差法求出此弦所在直線的斜率，再由點斜式寫出直線的方程，整理成一般式即可．

解答：解：由已知得s+t=

1

9

(s+t)(

m

s

+

n

t

)=

1

9

(m+n+

mt

s

+

ns

t

)≥

1

9

(m+n+2

mn

)=

1

9

(

m

+

n

)2，由于s+t的最小值是

4

9

，因此

1

9

(

m

+

n

)2=

4

9

，

m

+

n

=2，又m+n=2，所以m=n=1．設以點（m，n）為中點的弦的兩個端點的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則有

x1+x2

2

=

y1+y2

2

=1，即x1+x2=y1+y2=2①．又該兩點在雙曲線上，則有

x 2 1

4

-

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

-

y 2 2

2

=1，兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

-

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0②，把①代入②得

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，即所求直線的斜率是

1

2

，所求直線的方程是y-1=

1

2

(x-1)，即x-2y+1=0．
故答案為x-2y+1=0

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，求解本題的關鍵有二，一是利用基本不等式與最值的關系求出參數的值，一是利用點差法與中點的性質求出弦所在直線的斜率，點差法是知道中點的情況下常用的表示直線斜率的方法，其特征是有中點出現，做題時要善于運用．