Question

已知m、n、s、t為正數，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9其中m、n是常數，且s+t最小值是

4

9

，滿足條件的點（m，n）是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1一弦的中點，則此弦所在的直線方程為（　　）

A．x-2y+1=0

B．2x-y-1=0

C．2x+y-3=0

D．x+2y-3=0

Answer 1

分析：由題設知（

m

s

+

n

t

）（s+t）=n+m+

mt

s

+

ns

t

≥m+n+2

mt s • ns t

=m+n+2

mn

，滿足

mt

s

=

ns

t

時取最小值，由此得到m=n=1．設以（1，1）為中點的弦交橢圓

x2

4

+

y2

2

=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入x²+2y²=4，得

x12+2y12=4① x22+2y2 2=4②

，①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，k=

y 1-y2

x1-x2

=-

1

2

，由此能求出此弦所在的直線方程．

解答：解：∵sm、n、s、t為正數，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9，
s+t最小值是

4

9

，
∴（

m

s

+

n

t

）（s+t）的最小值為4
∴（

m

s

+

n

t

）（s+t）=n+m+

mt

s

+

ns

t

≥m+n+2

mt s • ns t

=m+n+2

mn

，
滿足

mt

s

=

ns

t

時取最小值，
此時最小值為m+n+2

mn

=2+2

mn

=4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
設以（1，1）為中點的弦交橢圓

x2

4

+

y2

2

=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入x²+2y²=4，得

x12+2y12=4① x22+2y2 2=4②

，
①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y 1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴此弦所在的直線方程為y-1=-

1

2

(x-1)，
即x+2y-3=0．
故選D．

點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要認真審題，注意均值不等式和點差法的合理運用．