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已知m,n,s,t∈R+,m+n=2,
m
s
+
n
t
=9
,其中m、n是常數,當s+t取最小
4
9
時,m、n對應的點(m,n)是雙曲線
x2
4
-
y2
2
=1
一條弦的中點,則此弦所在的直線方程為(  )
分析:由題設中所給的條件m+n=2,
m
s
+
n
t
=9
,其中m、n是常數,當s+t取最小值
4
9
時,求出點(m,n)的坐標,由于此點是其所在弦的中點,故可以用點差法求出此弦所在直線的斜率,再由點斜式寫出直線的方程,整理成一般式即可.
解答:解:由已知得s+t=
1
9
(s+t)(
m
s
+
n
t
)=
1
9
(m+n+
mt
s
+
ns
t
)≥
1
9
(m+n+2
mn
)=
1
9
m
+
n
2
由于s+t的最小值是
4
9

因此
1
9
m
+
n
2=
4
9
,即
m
+
n
=2,又m+n=2,
所以m=n=1.
設以點(m,n)為中點的弦的兩個端點的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),
則有
x1+x2
2
=
y1+y2
2
=1,即x1+x2=y1+y2=2①.
又該兩點在雙曲線上,則有
x12
4
-
y12
2
=1
x22
4
-
y22
2
=1

兩式相減得
(x1+x2)(x1-x2)
4
-
(y1+y2)(y1-y2)
4
=0②,
把①代入②得
y1-y2
x1-x2
=
1
2

即所求直線的斜率是
1
2
,所求直線的方程是y-1=
1
2
(x-1),即x-2y+1=0.
故選A
點評:本題考查直線與圓錐曲線的關系,求解本題的關鍵有二,一是利用基本不等式與最值的關系求出參數的值,一是利用點差法與中點的性質求出弦所在直線的斜率,點差法是知道中點的情況下常用的表示直線斜率的方法,其特征是有中點出現,做題時要善于運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知m,n,s,t∈R+,m+n=2,
m
s
+
n
t
=9
,其中m、n是常數,當s+t取最小值
4
9
時,m、n對應的點(m,n)是雙曲線
x2
4
-
y2
2
=1
一條弦的中點,則此弦所在的直線方程為
x-2y+1=0
x-2y+1=0

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知m、n、s、t為正數,m+n=2,
m
s
+
n
t
=9其中m、n是常數,且s+t最小值是
4
9
,滿足條件的點(m,n)是橢圓
x2
4
+
y2
2
=1一弦的中點,則此弦所在的直線方程為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知m、n、s、t∈R+,m+n=2,
m
s
+
n
t
=9
其中m、n是常數,且s+t的最小值是
4
9
,滿足條件的點(m、n)是圓(x-2)2+(y-2)2=4中一弦的中點,則此弦所在的直線方程為
x+y-2=0
x+y-2=0

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年海南省儋州市洋浦中學高三(下)3月月考數學試卷(理科)(解析版) 題型:填空題

已知m,n,s,t∈R+,m+n=2,,其中m、n是常數,當s+t取最小值時,m、n對應的點(m,n)是雙曲線一條弦的中點,則此弦所在的直線方程為   

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