Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓過點(diǎn)，直線交軸于，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓方程得，由得，則，聯(lián)立方程得解；（2）分為直線斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接代入得解；當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，結(jié)合韋達(dá)定理，運(yùn)用整體代換的思想化簡得，可得其恒過定點(diǎn).

試題解析：（1）∵橢圓過點(diǎn)，∴① ，

∵，∴，則，

∴②，由①②得，

∴橢圓的方程為

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí) ，設(shè)，則，由得，得

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

，

得，

，

即，

由，

即．

故直線過定點(diǎn)．