Question

設a為實常數，函數y=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）當x=0時，y≥1，試求實數a的取值范圍．
（2）當a=1時，求y在x≥a時的最小值；當a∈R時，試寫出y的最小值（不必寫出解答過程）．
（3）當x∈（a，+∞）時，求不等式y≥1的解集．

Answer 1

分析：（1）把x=0直接代入不等式，化為關于a的不等式，去絕對值后求解a的范圍；
（2）把a=1代入函數解析式，去絕對值后利用二次函數的單調性求最小值；對x大于等于a和x小于等于a進行分類，利用二次函數的單調性求出兩段函數在a的不同取值下的最小值，取最小值中的最小者；
（3）由y≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，然后利用不等式對應二次方程的判別式小于等于0和大于0分類，特別是當判別式大于0時對不等式所對應的方程的根進一步分類進行求解．

解答：解：（1）因為當x=0時，y≥1，故，-a|a|≥1⇒

a＜0 a2≥1

⇒a≤-1；
（2）當a=1時，y=3x²-2x+1（x≥1）．
函數在[1，+∞）上為增函數，
故y在x≥1的最小值為y=3•1²-2•1+1=2；
當a∈R時，
若x≥a，則y=3x²-2ax+a²，ymin=

2a2    (a≥0) 2a2 3    (a＜0)

．
若x≤a，則y=x²+2ax-a²，ymin=

-2a2   (a≥0) 2a2     (a＜0)

．
綜上，當a∈R時，ymin=

-2a2   (a≥0) 2a2 3     (a＜0)

；
（3）x∈（a，+∞）時，由y≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，△=4a²-12（a²-1）=12-8a²
當a≤-

6

2

或a≥

6

2

時，△≤0，x∈（a，+∞）；
當-

6

2

＜a＜

6

2

時，△＞0，得：

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

，
討論得：當a∈(

2

2

，

6

2

)時，解集為（a，+∞）；
當a∈(-

6

2

，-

2

2

)時，
解集為(a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞)；
當a∈[-

2

2

，

2

2

]時，
解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，考查分類討論的思想及數學轉化思想方法，考查了函數值域的求法，考查了學生的綜合運算能力，是中高檔題．