Question

已知函數f（x）=

5

a

x+

5 (a-1)

x

，（x≠0）（a≠0）．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（2）已知當a＞0時，函數在（0，

6

）上單調遞減，在(

6

，+∞)上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）若函數f（x）在區間[-

6

6

，0)∪(0，

6

6

]內有反函數，試求出實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）討論a，分為a＜0，0＜a≤1，a＞1，從而得到函數的單調區間；
（2）根據（1）中a＞1時的單調區間可知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a的值；
（3）欲使函數f（x）在區間[-

6

6

，0)∪(0，

6

6

]內有反函數即在該區間上單調，討論a（a-1）的正負可求出所求．

解答：解：（1）①當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（-

a(a-1)

，0）及（0，

a(a-1)

），
②當0＜a≤1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）及（0，+∞），
③當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-

a(a-1)

）及（

a(a-1)

，+∞）．
（2）由題設及（1）中③知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a=3，
因此函數解析式為f（x）=

5 x

3

+

2 5

x

（x≠0）．                    
（3）1#當a（a-1）＞0即a＜0或a＞1時
由圖象知

a(a-1)

≥

6

6

解得a∈（-∞，

3- 15

6

]∪[

3+ 15

6

，+∞）
2#當a=1時，函數為正比例函數，故在區間內存在反函數，所以a=1成立．
3#當a（a-1）＜0，得到

a(a-1)

＜

6

6

，從而得a∈（

3- 3

6

，

3+ 3

6

）
綜上a∈∈（-∞，

3- 15

6

]∪（

3- 3

6

，

3+ 3

6

）∪{1}∪[

3+ 15

6

，+∞）

點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數的反函數，同時考查了不等式的解法和計算能力，以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．