Question

已知數列{a_n}的前n項的和S_n=aⁿ-1（a是不為0的實數），那么{a_n}（　　）

A．一定是等差數列

B．一定是等比數列

C．或者是等差數列，或者是等比數列

D．既不可能是等差數列，也不可能是等比數列

Answer 1

分析：由題意可知，當a=1時，S_n=0，判斷數列是否是等差數列；當a≠1時，利用

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，判斷數列{a_n}是等差數列還是等比數列．

解答：解：①當a=1時，S_n=0，
且a₁=a-1=0，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=0，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=0，
∴a_n-a_n-1=0，
∴數列{a_n}是等差數列．
②當a≠1時，
a₁=a-1，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=aⁿ-a^n-1，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=a^n-1-a^n-2，（n＞2）

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，（n＞2）
∴數列{a_n}是等比數列．
綜上所述，數列{a_n}或是等差數列或是等比數列．
故選C．

點評：本題考查數列的概念，等差數列與等比數列的判定，解題時要注意a=0的情況，避免丟解以及n的范圍滿足數列的定義．