Question

設a為實數，函數f(x)＝x²＋｜x－a｜＋1，x∈R．

(1)討論f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的最小值．

 

Answer 1

答案：
提示：

命題意圖：本題主要考查函數的概念、函數的奇偶性、函數的單調性及其應用，考查分類討論思想及邏輯思維能力． 解題思路：(1)分a＝0和a≠0兩種情形加以討論． 當a＝0時，函數f(x)＝(－x)2＋｜－x｜＋1＝f(－x)，此時，f(x)為偶函數． 當a≠0時，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2｜a｜＋1，f(－a)≠f(a)． 此時，函數f(x)既不是奇函數，又不是偶函數． (2)除掉絕對值符號，化為基本初等函數問題求解． ①當x≤a時，函數f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－)2＋a＋． 若a≤，則函數f(x)在(－∞,a]上單調遞減，從而，函數f(x)在(－∞，a]上的最小值為f(a)＝a2＋1． 若a>，則函數f(x)在(－∞，a]上的最小值為f()＝＋a，且f()≤f(a)． ②當x≥a時，函數f(x)＝x2＋x－a＋1＝(x＋)2－a＋． 若a≤－，則函數f(x)在[a，＋∞)上的最小值為f(－)＝－a，且f(－)≤f(a)． 若a>－，則函數f(x)在[a，＋∞)上單調遞增，從而，函數，f(x)在[a，＋∞)上的最小值為，f(a)＝a2＋1． 綜上，當a≤－時，函數f(x)的最小值是－a；當－<a≤時，函數f(x)的最小值為a2＋1；當a>時，函數f(x)的最小值為a＋． 評點：解本題的關鍵是分類，難點是除掉絕對值符號后，正確進行討論，確立函數的單調性，進而求最小值．