Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（a+b+c）（sinA+sinB-sinC）=3asinB，則C=

60

°．

Answer 1

分析：利用正弦定理求出A+B的余弦函數值，得到C的值即可．

解答：解：由正弦定理可知（sinA+sinB+sinC）（sinA+sinB-sinC）=3sinAsinB
⇒（sinA+sinB）²-sin²C=3sinAsinB，
⇒sin²A+2sinAsinB+sin²B-sin²（A+B）=3sinAsinB，
⇒sin²A+sin²B-（sinAcosB+cosAsinB）²=sinAsinB，
⇒sin²A+sin²B-sin²A•cos²B-2sinAcosBcosAsinB-cos²A•sin²B=sinAsinB
⇒2sin²Asin²B-2sinAcosBsinBcosA=sinAsinB，
⇒cosAcosB-sinAsinB=-

1

2

，
∴cos（A+B）=-

1

2

，
∴A+B=

2π

3

，
所以C=π-（A+B）=

π

3

故答案為：

π

3

．

點評：本題考查正弦定理的應用，兩角和與差的余弦函數的求法，注意解得范圍，考查計算能力，另外利用正弦定理將條件中的角的正弦化為相應的邊，再結合余弦定理求∠C更簡單．