Question

已知點（0，1）和（3，0）都在函數f(x)=

c+bx-x2

(0≤x≤1)的反函數的圖象上．
（1）求b，c的值；    
（2）求f（x）的反函數f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）由已知中中點（0，1）和（3，0）都在函數f(x)=

c+bx-x2

(0≤x≤1)的反函數的圖象上，可得（1，0），（0，3）都在函數f(x)=

c+bx-x2

(1≥x≥0)的圖象上，代入構造關于b，c的方程組，進而得到b，c的值；    
（2）由（1）中結論，我們可以求出函數f(x)=

c+bx-x2

(0≤x≤1)的解析式，根據二次函數在閉區間上的最值，我們可以求出函數f（x）的值域（反函數的定義域），反表示后，易求出反函數的解析式，進而得到答案．

解答：解：（1）由題意知（1，0），（0，3）都在函數f(x)=

c+bx-x2

(1≥x≥0)的圖象上，
得

c+b-1 =0 c =3

，
解得

b=-8 c=9

（2）由（1）知f(x)=

9-8x-x2

(1≥x≥0)，
其值域為[0，3]
令y=f(x)=

9-8x-x2

，
得x=

25-y2

-4
所以f-1(x)=

25-x2

-4  (0≤x≤3)

點評：本題考查的知識點是待定系數法求函數的解析式，反函數，其中（1）的關鍵是構造關于b，c的方程組，（2）的關鍵是根據反函數求示的步驟，由原函數解析式求出反函數的解析式，此時易忽略反函數的定義域為原函數的值域，而僅求出反函數的對應關系．