Question

22.已知函數.

（I）證明：當時，在上是增函數；

（II）對于給定的閉區間，試說明存在實數       ，當時，在閉區間上是減函數；

（III）證明：.

Answer 1

（I）證明：由題設得g(x)=e^2x-t(e^x+1)+x,(x)=2e^2x-te^x+1.

又由2e^x+e^-x≥2，且t＜2得t＜2e^x+e^-x,即

（x）=2e^2x-te^x+1＞0.

由此可知，g(x)為R上的增函數.                          

（II）證法一：因為(x)＜0是g(x)為減函數的充分條件，所以只要找到實數k,使得t＞k時，在閉區間[a,b]上成立即可.

因為y=2e^x+e^-x在閉區間[a,b]上連續，故在閉區間[a,b]上有最大值，設其為k,于是在t＞k時，（x）＜0在閉區間[a,b]上恒成立，即g(x)在閉區間[a,b]上為減函數.         

證法二：因為（x）＜0是g(x)為減函數的充分條件，所以只要找到實數k,使得t＞k時，

(x)=2e^2x-te^x+1＜0,

在閉區間[a,b]上成立即可.

令m=e^x,則（x）＜0(x∈[a,b])當且僅當

2m²-tm+1＜0(m∈[e^a,e^b]).

而上式成立只需要

成立.取2e^a+e^-a與2e^b+e^-b中較大者記為k,易知當t＞k, (x)＜0在閉區間[a,b]上恒成立,即g(x)在閉區間[a,b]上為減函數.                                                                          

（III）證法一：設F（t）=2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²+1,即

F(t)=2

易得

F（t）≥（e^x-x）²+1.                                                                           

令H(x)=e^x-x,則（x）=e^x-1,易知(0)=0.當x＞0時.（x）＞0;當x＜0時，(x)＜0.故當x=0時，H(x)取最小值,H(0)=1.所以

于是對任意x、t，有F(t)≥，即f(x) ≥.                                           

證法二：設F（t）=2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²+1,

F(x)≥當且僅當

2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²-≥0.

只需證明

4(e^x+x)²-2×4(e^2x-x²-)≤0,                                                                      

即

（e^x-x）²≥1.

以下同證法一                                                                                          

證法三：設F（t）=2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²+1,則

F′（t）=4t-2(e^x+x).

易得F′（）=0。當t＞時,F′(t)＞0;當t＜時，F′(t)＜0,故當t=時，F(t)取最小值

F(t)≥( e^x-x)²+1.                                                                                   

以下同證法一.                                                                                         

證法四：f(x)=(e^x-t)²+(x-t)²+1.

設點A、B的坐標分別為（x,e^x）、(t,t),易知點B在直線y=x上，令點A到直線y=x的距離為d,則

f(x)=|AB|²+1≥d²+1=(e^x-x)²+1.                                                               

以下同證法一.