Question

定義在R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=kx+b（k，b為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，則稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數、現有如下命題：
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②g（x）=2x為函數f（x）=2^x的一個承托函數；
③定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數．
下列選項正確的是（　　）

• A、①
• B、②
• C、①③
• D、②③

Answer 1

分析：對于①，若取f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），都滿足，且有無數個，故錯；
對于②，即x=

3

2

時，②錯；
對于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故錯．
抽象的背后總有具體的模型，我們可以通過具體的函數的研究，進行合理地聯想．

解答：解：對于①，若f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），
就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y=tanx，y=lgx就沒有承托函數，∴命題①正確、
對于②，∵當x=

3

2

時，g(

3

2

)=3，f(

3

2

)=2

2

=

8

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一個承托函數，故錯誤；
對于③如f（x）=2x+3存在一個承托函數y=2x+1，故錯誤；
故選A．

點評：本題是以抽象函數為依托，考查學生的創新能力，屬于較難題，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．