Question

在周長為16的△PMN中，MN=6，則

PM

•

PN

的取值范圍是（　　）

• A、[7，+∞）
• B、（0，7]
• C、（7，16]
• D、[7，16）

Answer 1

分析：利用向量的數量積公式表示出向量的數量積；利用三角形的余弦定理求出向量的夾角余弦；通過求二次函數的對稱軸求出范圍．

解答：解：設PM=x，則PN=10-x，∠MPN=θ
所以

PM

•

PN

=x（10-x）cosθ
在△PMN中，由余弦定理得cosθ=

(10-x)2+x2-36

2(10-x)x

又

x+6＞10-x 10-x+6＞x

，解得2＜x＜8
∴

PM

•

PN

=x2-10x+32（2＜x＜8），是一個開口向上的二次函數，對稱軸為x=5
當x=5時最小為7，當x=2或x=8時最大為16
故答案為[7，16）
故選D．

點評：本題考查向量的數量積公式、三角形的余弦定理、二次函數的最值求法．