Question

（理科）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若bcosC+（2a+c）cosB=0
（1）求內角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，由sinA不為0，得出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由b與cosB的值，利用余弦定理列出關系式，利用完全平方公式變形后，利用基本不等式求出ac的最大值，由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）利用正弦定理化簡已知的等式得：sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=-2sinAcosB，即sin（B+C）=sinA=-2sinAcosB，
∵A為三角形的內角，即sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，又B為三角形的內角，
∴B=

2π

3

；
（2）∵b=2，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：4=a²+c²+ac=（a+c）²-ac≥2ac-ac=ac，
（當且僅當a=c時取等號），
∴ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
則△ABC面積的最大值為

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，基本不等式與完全平方公式的運用，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．