Question

（文科）已知△ABC中，∠B=60°，且AB=1，BC=4，則邊BC上的中線AD的長為多少？
（理科）在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程x2-2

3

x+2=0的兩個根，且2cos（A+B）=1，求：
（1）∠C的度數；
（2）AB的長度．

Answer 1

分析：（文科）由AD為BC邊上的中線，根據BC的長求出BD的長，在三角形ABD中，再由AB及cosB的值，利用余弦定理列出關于AD的方程，求出方程的解，即可得到中線AD的長；
（理科）（1）由三角形的內角和定理得到A+B+C=π，即A+B=π-C，利用代入已知的等式2cos（A+B）=1中，利用誘導公式化簡，求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）由a與b為已知方程的兩個根，利用韋達定理求出a+b及ab的值，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，并利用完全平方公式整理化簡后，將cosC，a+b及ab的值代入，得到關于c的方程，求出方程的解得到c的值，即為AB的長度．

解答：（文科）
解：∵AD為邊BC上的中線，BC=4，
∴BD=

1

2

BC=2，又AB=1，cosB=cos60°=

1

2

，
由余弦定理AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=1+4-2=3，
∴AD=

3

；
（理科）
解：（1）∵A+B=π-C，2cos（A+B）=1，
∴2cos（π-C）=-2cosC=1，即cosC=-

1

2

，
又C為三角形的內角，
∴C=

2π

3

；
（2）∵a，b是方程x2-2

3

x+2=0的兩個根，
∴a+b=2

3

，ab=2，又cosC=-

1

2

，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab=12-2=10，
∴c=

10

，
則AB的長度為

10

．

點評：此題考查了余弦定理，誘導公式，完全平方公式的運用，韋達定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．