Question

設
（Ⅰ）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）是否存在實數a、使得關于x的不等式lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）對f（x）求導后，構造新的函數g（x），利用導數求解函數單調的方法步驟進行求解．
（2）根據已知lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立等價于lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，構造新的函數h（x）=lnx-a（x-1），本題所要求的a的取值范圍，只需滿足一個條件：使得h（x）在定義域內為減函數即可．
解答：證明：（1）∵
∴，
設．
∴，
∴y=g（x）在[1，+∞）上為減函數．
∴，
∴，
∴函數在（1，+∞）上為減函數．
（2）lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，?lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，
設h（x）=lnx-a（x-1），則h（1）=0，
∴，
若a≤0顯然不滿足條件，
若a≥1，則x∈[1，+∞）時，恒成立，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在[1，+∞）上為減函數
∴lnx-a（x-1）＜h（1）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
若0＜a＜1，則時，，
∴時h'（x）≥0，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在上為增函數，
當時，h（x）=lnx-a（x-1）＞0，
不能使lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥1
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性問題，這一道題的新穎之處是構造新的函數，這也是教學中的重點和難點，希望在平時多加練習，掌握要領．