Question

已知邊長為a的等邊三角形內任意一點到三邊距離之和為定值，這個定值為

3

2

，推廣到空間，棱長為a的正四面體內任意一點到各個面的距離之和也為定值，則這個定值為：

6

3

a

．

Answer 1

分析：三角形內任意一點到三邊距離和為定值是利用三角形面積相等得到的，類彼此可利用四面體的體積相等求得棱長為a的正四面體內任意一點到各個面的距離之和．

解答：解：邊長為a的等邊三角形內任意一點到三邊距離之和是由該三角形的面積相等得到的，
由此可以推測棱長為a的正四面體內任意一點到各個面的距離之和可由體積相等得到．
方法如下，如圖，
在棱長為a的正四面體內任取一點P，P到四個面的距離分別為h₁，h₂，h₃，h₄．
四面體A-BCD的四個面的面積相等，均為

3

4

a2，高為

6

3

a．
由體積相等得：

1

3

(h1+h2+h3+h4)•

3

4

a2=

1

3

•

3

4

a2•

6

3

a．
所以h1+h2+h3+h4=

6

3

a．
故答案為

6

3

a．

點評：本題考查了類比推理，考查了學生的空間想象能力，訓練了等積法求點到面的距離，是基礎題．