Question

【題目】已知點 A（a ， b），拋物線C ： （a ≠0 ， b ≠0 ， a ≠2p）.過點 A 作直線l ，交拋物線 C 于點P 、Q .如果以線段 PQ 為直徑的圓過拋物線C 的頂點，求直線 l 的方程

Answer 1

【答案】bx -（a -2p）y -2bp =0 或.

【解析】

1.如果直線 l 過原點， 顯然滿足要求， 此時方程為.

2.如果直線 l 不過原點， 設其方程為x = m（y - b） + a .

又設 P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）， 則OP ⊥OQ.

因為， 所以，.

由方程組消去x得. ①

由韋達定理得.

所以，.

故所求方程為bx -（a -2p）y -2bp =0 . ②

由于-4p2 < 0 ， 所以， -2p（a - bm）< 0， 即方程①的常數項為負 .

從而， 判別式大于 0， 方程 ①一定有解 y1、y2.故方程②符合題意.

綜上直線 l 的方程為或bx -（a -2p）y -2bp =0 .