Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：A₁B∥平面ADC₁；
(2)若AB＝BB₁＝2，求A₁D與平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明:因?yàn)槿�棱�?i>ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以四邊形A₁ACC₁是矩形．連接A₁C交AC₁于O，則O是A₁C的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，所以在△ADC₁中，OD∥A₁B，因?yàn)?i>A₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁.
(2)解:因?yàn)椤?i>ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系D-xyz.由已知AB＝BB₁＝2，得D(0,0,0)，A(，0,0)，A₁(，0,2)，C₁(0，－1,2)．

則＝(，0,0)，＝(0，－1，2)，設(shè)平面AC₁D的法向量為n＝(x，y，z)，由得
取z＝1，則x＝0，y＝2，
∴n＝(0,2,1)，又＝(，0,2)，∴cos〈，n〉＝＝，設(shè)A₁D與平面ADC₁所成角為θ，
則sin θ＝|cos〈，n〉|＝，
故A₁D與平面ADC₁所成角的正弦值為.