Question

下面的一組圖形為側棱SA垂直于底面ABCD的某一四棱錐S-ABCD的側面與底面，畫出四棱錐S-ABCD的空間圖形并研究
（I）求直線SC與平面SAD所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小；
（Ⅲ）求此四棱錐S-ABCD外接球半徑與內切球半徑之和．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明∠DSC為直線SC與平面SAD所成的角，利用正切函數，可得結論；
（II）作BE⊥SC，垂足為E，連接DE，則DE⊥SC，可得∠BED為二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理可求；
（III）SC為S-ABCD外接于球的直徑，利用等體積法，可求內切球半徑，從而可得結論．
解答：解：（I）如圖所示，由題意，SA=AB=a，SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD內的交線，∴SA⊥底面ABCDSA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
則CD⊥平面SAD，∴∠DSC為直線SC與平面SAD所成的角，
∵CD=a，SD=a
∴tan∠DSC=
∴直線SC與平面SAD所成的角為arctan；
（II）作BE⊥SC，垂足為E，連接DE，則DE⊥SC，
∴∠BED為二面角B-SC-D的平面角
∵BC=a，SB=，∴SC=
∴=
在△BED中，cos∠BED==-
∴∠BED=120°；
（III）SC為S-ABCD外接于球的直徑，SC=a，∴半徑為
設內切球半徑為r，則
∴r=
∴四棱錐S-ABCD外接球半徑與內切球半徑之和為+．
點評：本題考查線面角，面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．