Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，g（x）=

1

ln(x+1)

-

1

x

．
（Ⅰ）判定f（x）在（0，1]上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求g（x）在（0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若?n∈N^*，（n+a）ln（1+

1

n

）≤1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用多次求導(dǎo)即可得出；
（Ⅱ）通過求導(dǎo)，再利用（Ⅰ）的結(jié)論即可求出；
（Ⅲ）變形后利用（Ⅱ）的結(jié)論即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，（x＞-1）．
∴f^′（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x．
令h（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x，
則h^′（x）=

2ln(x+1)-2x

x+1

．
設(shè)u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，
則u′(x)=

1

x+1

-1＜0，
∴u（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴u（x）＜u（0）=0．
∴h′(x)=

2[ln(x+1)-x]

x+1

＜0，
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（0）=0，
∴f^′（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴f^′（x）＜f^′（0）=0，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（1）≤f（x）＜f（0）=0，即f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，
∴g′(x)=

- 1 x+1

ln2(x+1)

+

1

x2

=

(x+1)ln2(x+1)-2x

x2(x+1)ln2(x+1)

＜0，
∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，于是g（1）≤g（x）＜g（0），
∴g（x）在（0，1]上的最小值為g（1）=

1

ln2

-1．
（Ⅲ）∵?n∈N^*，(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，
∴a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n，
 令Φ（n）=

1

ln(1+ 1 n )

-n，

1

n

=x∈（0，1]，
則Φ（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，x∈（0，1]．
由（Ⅱ）可知：Φ（x）在（0，1]上的最小值為

1

lnn

-1，
故Φ（n）的最小值為

1

ln2

-1．
∴a的取值范圍為(-∞，

1

ln2

-1]．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是解題的關(guān)鍵．