Question

設拋物線y²=2px （p＞0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明直線AC經過原點O．

Answer 1

【答案】分析：先求出拋物線的焦點坐標，然后得到經過點F的直線的方程后代入到拋物線中消去x得到關于y的一元二次方程，進而得到兩根之積，根據BC∥x軸與點c在準線上可求得c的坐標，進而可表示出直線CO的斜率，同時可得到k也是直線OA的斜率，所以直線AC經過原點O．
得證．
解答：證明：如圖因為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F（，0），
所以經過點F的直線的方程可設為；
代入拋物線方程得y²-2pmy-p²=0，
若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是該方程的兩個根，
所以y₁y₂=-p²．
因為BC∥x軸，且點c在準線x=-上，
所以點c的坐標為（-，y₂），
故直線CO的斜率為．
即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經過原點O．
點評：本小題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力．