Question

設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，其準線與x軸的交點為Q，過Q點的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）若直線l的斜率為

2

2

，求證：

FA

•

FB

=0；
（2）設直線FA，FB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析：（1）由點斜式寫出直線l的方程，和拋物線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求出A，B兩點的橫坐標的和與積，寫出向量

FA

，

FB

的坐標，展開數量積后代入根與系數關系得答案；
（2）設直線l的方程為l：x=ky-

p

2

，和拋物線方程聯立后話誒關于y的一元二次方程，寫出根與系數關系，由兩點式求出斜率后作和化簡，代入根與系數關系即可得到答案．

解答：（1）證明：由題意可得l：y=

2

2

(x+

p

2

)，
聯立

y= 2 2 (x+ p 2 ) y2=2px

，得x2-3px+

p2

4

=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=3p，x1x2=

p2

4

．
則

FA

=(x1-

p

2

，y1)，

FB

=(x2-

p

2

，y2)．
∴

FA

•

FB

=(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)+y1y2=

3

2

x1x2-

p

4

(x1+x2)+

3

8

p2=0；
（2）設直線l：x=ky-

p

2

，與拋物線聯立得y²-2pky+p²=0．
∴y1+y2=2p，y1y2=p2．
則k1+k2=

y1

x1- p 2

+

y2

x2- p 2

=

y1

ky1-p

+

y2

ky2-p

=

2ky1y2-p(y1+y2)

(ky1-p)(ky2-p)

=

2kp2-p•2pk

(ky1-p)(ky2-p)

=0．

點評：本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常利用一元二次方程的根與系數關系，采用設而不求的方法解決，此題屬中高檔題．