Question

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0），弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為其阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（　　）

• A、

  p2

  2

• B、p²
• C、2p²
• D、4p²

Answer 1

分析：法一：直接計算比較復(fù)雜，我們可以取幾個特殊的位置，可得解．
法二：由于若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上，且△PAB為直角三角型，且角P為直角．又面積是直角邊積的一半，斜邊是兩直角邊的平方和，故可求．

解答：解：法一：取傾斜角為：45⁰，60⁰，90⁰，經(jīng)計算可知，當(dāng)傾斜角為90⁰時，△ABQ的面積的最小，此時AB=2p，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=

p

2

-(-

p

2

)=p，此時三角形的面積最小為p²故選B．
法二：由于若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上，且△PAB為直角三角型，且角P為直角．S=

1

2

PA•PB≤

AB2

4

，由于AB是通徑時，AB最小，故選B．

點(diǎn)評：本題作為選擇題，采用特殊法，簡單易行．由特殊求解一般性結(jié)論是解答選擇題的一種很好的方法．△PAB稱作阿基米德三角型．該三角形滿足以下特性：1、P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；2、△PAB為直角三角型，且角P為直角；3、PF⊥AB（即符合射影定理）等．靈活利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．