Question

某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產(chǎn)建設的需要每年底要砍伐的木材量為b，設a_n為n年后該地區(qū)森林木材存量.

(1)求a_n的表達式；

（2）為保護生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材量應不少于a,如果b=a,那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，需要經(jīng)過幾年？（取lg2=0.30）.

Answer 1

思路解析：(1)依題意，得a₁=a(1+)-b=a-b,

a₂=a₁-b=(a-b)-b=()²a-(+1)b,

a₃=a₂-b=()³a-［()²++1］b,

由此猜測：

a_n=()ⁿa-［()^n-1+()^n-2+…++1］b

=()ⁿa-4［()ⁿ-1］b(n∈N₊).

下面用數(shù)學歸納法證明：

①當n=1時，a₁=a-b,猜測成立.

②假設n=k時，猜測成立.

即a^k=()^ka-4［()^k-1］b成立.

那么當n=k+1時，

a_k+1=a_k-b={()^ka-4［()^k-1］b}-b=()^k+1 a-4［()^k+1-1］b,

即當n=k+1時，猜測成立.

由①②知,對任意的自然數(shù)n猜測成立.

(2)當b=a時，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失時，則森林木材存量必須小于a,

∴()ⁿa-4［()ⁿ-1］×a＜a,

整理,得（）ⁿ＞5,

兩邊取對數(shù)得：nlg＞lg5,

∴n＞=7.

∴ 經(jīng)過8年該地區(qū)就開始水土流失.