Question

某地區原有森林木材存量為a，且每年增長率為25％，因生產建設的需要每年底要砍伐的木材量為b，設a_n為n年后該地區森林木材存量．

(1)求a_n的表達式；

(2)為保護生態環境，防止水土流失，該地區每年的森林木材量應不少于a，如果b＝a，那么該地區今后會發生水土流失嗎？若會，需要經過幾年？(取lg2＝0.30)．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：(1)依題意，得a1＝a(1＋)－b＝a－b， 　　a2＝a1－b＝(a－b)－b＝()2a－(＋1)b， 　　a3＝a2－b＝()3a－[()2＋＋1]b， 　　由此猜測： 　　an＝()na－[()n－1＋()n－2＋…＋＋1]b 　　＝()na－4[()n－1]b(n∈N+)． 　　下面用數學歸納法證明： 　　①當n＝1時，a1＝a－b，猜測成立． 　　②假設n＝k時，猜測成立． 　　即ak＝()ka－4[()k－1]b成立． 　　那么當n＝k＋1時， 　　ak+1＝ak－b＝{()ka－4[()k－1]b}－b＝()k+1a－4[()k+1－1]b， 　　即當n＝k＋1時，猜測成立． 　　由①②知，對任意的自然數n猜測成立． 　　(2)當b＝a時，若該地區今后發生水土流失時，則森林木材存量必須小于a， 　　∴()na－4[()n－1]×a＜a， 　　整理，得()n＞5， 　　兩邊取對數得：nlg＞lg5， 　　∴n＞＝7． 　　∴經過8年該地區就開始水土流失．