Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），θ∈[0，?π]，向量

b

=（

3

，-1）
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值?；
（2）若|2

a

-

b

|＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標及兩向量垂直其數量積為0，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，求出tanθ的值，由θ的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出θ的度數；
（2）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則計算出2

a

-

b

的坐標，利用向量模的計算公式表示出|2

a

-

b

|²，整理后，利用同角三角函數間的基本關系及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由θ的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質可得出此時正弦函數的值域，進而得出|2

a

-

b

|的最大值，根據不等式恒成立時滿足的條件，令m大于|2

a

-

b

|的最大值即可求出m的范圍．

解答：解：（1）∵

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（

3

，-1），

a

⊥

b

，
∴

3

cosθ-sinθ=0，變形得：tanθ=

3

，
又θ∈[0，π]，
則θ=

π

3

；
（2）∵2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1），
∴|2

a

-

b

|²=（2cosθ-

3

）²+（2sinθ+1）²=8+8（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）=8+8sin（θ-

π

3

），
又θ∈[0，π]，
∴θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴-

3

2

≤sin（θ-

π

3

）≤1，
∴|2

a

-

b

|²的最大值為16，
∴|2

a

-

b

|的最大值為4，
又|2

a

-

b

|＜m恒成立，
所以m＞4．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，平面向量的數量積運算法則，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．