Question

“韓信點兵”問題：韓信在一次點兵的時候，為保住軍事秘密，不讓敵人知道自己部隊里的軍事實力，采用下述點兵方法：先令士兵1～3報數，結果最后一個士兵報2；又令士兵1～5報數，結果最后一個士兵報3；這樣韓信很快算出自己部隊士兵的總數．那么士兵的人數可能是　

1. A.
   20
2. B.
   46
3. C.
   53
4. D.
   63

Answer 1

C
分析：通過閱讀題目，問題可歸結為命題：一個數除以3余2，除以5余3，求滿足以上兩條件的正整數．首先找到滿足以上兩個條件的最小正整數為8，然后根據3和5的最小公倍數時15，則符合條件的正整數可以寫成15n+8（n∈N）的形式，結合題目給出的選項即可得到正確答案．
解答：士兵1～3報數，結果最后一個士兵報2，說明士兵總人數為3n+2（n∈N）．
士兵1～5報數，結果最后一個士兵報3，說明士兵總人數是5的倍數余3，
而3n+2（n∈N）中的所有數字中，5的倍數余3的最小數字是8．
則說明士兵1～3報數，結果最后一個士兵報2，1～5報數，結果最后一個士兵報3的最少人數是8人．
而3和5的最小公倍數是15，則滿足上面兩種報數方法的人數為15n+8（n∈N）．
從四個選項中看到，只有士兵人數為53時符合15n+8（n∈N），此時n=3．
所以士兵總人數為53．
故選C．
點評：本題考查的是經典的“中國剩余定理”算理及其應用，可理解為用樣本頻率分布估計總體頻率分布，解答的關鍵是理解其中的算理，該題還可以繼續添加條件，如“士兵1～7報數，結果最后一個士兵報4”等，此題是中檔題．