Question

已知ABCD是空間四邊形形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，如果對角線AC＝4，BD＝2，那么EG2+HF2的值等于

1. A.
   10               
2. B.
   15            
3. C.
   20           
4. D.
   25

Answer 1

A

試題分析：依次連接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中點，H是AD中點，∴EH∥BD，且EH=" BD=1"
同理：
FG∥BD，FG=" BD=1" ,所以，EH∥FG，EH=FG
同理，EF∥HG，EF=HG
所以，四邊形EFGH為邊長為1、2的平行四邊形
設∠EHG=θ，那么∠HEF="180°-θ"
在△EHG中，由余弦定理有：
EG2="EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ"
在△EFH中，由余弦定理有：
FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）="5+4cosθ"
上述兩式相加，得到：
EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10
故選A
考點：本題主要考查空間四邊形中的線線平行關系及余弦定理的應用。
點評：注意把立體幾何問題轉化成平面問題，這里運用了余弦定理，對高一學生來說是個難題。