Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分別是棱PD、BC的中點．
（1）求證：AE⊥PC；
（2）求直線PF與平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：方法一：（1）利用線面垂直的性質與判定，證明AE⊥平面PDC即可；
（2）過點F作FH⊥AC于點H，連接PH，可得∠FPH為直線PF與平面PAC所成的角；
方法二：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，證明

AE

•

PC

=0即可；
（2）證明BD⊥平面PAC，確定平面PAC的法向量

BD

=（-1，1，0），

PF

=(1，

1

2

，-1)，利用向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：（方法一）（1）證明：因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DC
因為底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC
因為AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD，
因為AE?平面PAD，所以AE⊥DC，（3分）
又因為PA=AD，點E是棱PD的中點，所以AE⊥PD，
因為PD∩DC=D，所以AE⊥平面PDC，
因為PC?平面PDC，所以AE⊥PC．（7分）
（2）解：過點F作FH⊥AC于點H，連接PH，由F是棱BC的中點，底面是正方形可得FH∥BD，FH=

1

4

BD，
又由PA⊥底面ABCD得到PA⊥FH，
因為AD∩PA=A，所以FH⊥平面PAC，
所以∠FPH為直線PF與平面PAC所成的角，（10分）
設AD=1，得到FH=

2

4

，
在RT△PAH中，PH=

34

4

，tan∠FPH=

FH

PH

=

17

17

．（14分）
（方法二）（1）證明：以A為原點，分別以

AB

，

AD

，

AP

的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，
設PA=AD=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（2分）
∵點E、F分別是棱PD、BC的中點，
∴E(0，

1

2

，

1

2

)，F(1，

1

2

，0)，

AE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PC

=(1，1，-1)（4分）
∴

AE

•

PC

=0，∴AE⊥PC．（6分）
（2）解：由PA⊥底面ABCD得到PA⊥BD，AC⊥BD，
∵AD∩PA=A，∴BD⊥平面PAC
取平面PAC的法向量

BD

=（-1，1，0），（10分）設直線PF與平面PAC所成的角θ，則

PF

=(1，

1

2

，-1)
∴sinθ=|cos＜

BD

，

PF

＞|=|

BD • PF

| BD |• |PF|

|=

2

6

，∴cosθ=

34

6

，（13分）
故tanθ=

17

17

．（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面角，考查利用行向量的方法解決立體幾何問題，屬于中檔題．