Question

已知橢圓過點，橢圓左右焦點分別為，上頂點為，為等邊三角形.定義橢圓C上的點的“伴隨點”為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點,若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O.橢圓C的右頂點為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

Answer 1

（1）（2）（3）的面積是定值

解析試題分析：解：（1）由已知，解得 ,方程為.4分
（2）當(dāng)時，顯然，由橢圓對稱性，只研究即可，
設(shè)（），于是            5分
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號） 8分
（3） 設(shè),則;
1)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)方程為,
由 得: ；
有  ①          10分
由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O可得: ；
整理得:   ②
將①式代入②式得: ,              12分
 
又點到直線的距離
===
所以                   14分
2) 當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)方程為
聯(lián)立橢圓方程得: ；
代入得；
,    
綜上: 的面積是定值 
又的面積也為,所以二者相等.                  16分
考點：橢圓的方程與性質(zhì)
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。