Question

（本小題滿分12分）已知數列{an}滿足an＝2an－1＋2n＋1（n∈N，n＞1），a3＝27，數列{bn}滿足bn＝（an＋t）.

（1）若數列{bn}為等差數列，求bn；

（2）在（1）的條件下，求數列{an}的前n項和Sn.

 

Answer 1

（1）bn＝＋n；（2）Sn＝（2n－1）×2n－n＋1

【解析】

試題分析：（1）利用{bn}成等差數列，先求出t的值，進而得到b1和公差，即可求得通項公式；（2）根據（1），可以求出{an}的通項公式，然后利用錯位相減法可求出Sn.

試題解析：（1）由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，于是a2＝9

∴9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2

于是b1＝（2＋t），b2＝（9＋t），b3＝（27＋t）

∵{bn}成等差數列，故2b2＝b1＋b3

即2×（9＋t）＝（2＋t）＋（27＋t）

解得t＝1，∴b1＝，b2＝

bn－bn－1＝1＝d

∴bn＝＋（n－1）＝＋n（n∈N*）

（2）∵bn＝（an＋1）＝＋n

∴an＝（n＋）·2n－1＝（2n－1）·2n－1－1

∴Sn＝（3×20－1）＋（5×21－1）＋（7×22－1）＋……＋[（2n＋1）×2n－1－1]

＝3×20＋5×21＋7×22＋……＋（2n＋1）×2n－1－n

2Sn＝ 3×21＋5×22＋7×23＋……＋（2n＋1）×2n－n

作差：－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋……＋2×2n－1－（2n＋1）×2n＋n

＝1＋2×－（2n＋1）×2n＋n

＝（1－2n）×2n＋n－1

∴Sn＝（2n－1）×2n－n＋1（n∈N*）

考點：等差數列，遞推數列，通項公式，數列的前n項和，錯位相減法求和