Question

已知橢圓方程為（a＞b＞0），長軸兩端點A、B，短軸上端頂點為M，點O為坐標原點，F為橢圓的右焦點，且=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知c=1，
又=1，
∴（a+c）（a﹣c）=1=a²﹣c²，∴a²=2
故橢圓方程為；
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，
則設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1，
于是設直線l為y=x+m，與橢圓方程聯立，消元可得3x²+4mx+2m²﹣2=0
∵=x₁（x₂﹣1）+y₂（y₁﹣1）=0又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂﹣1）+（x₂+m）（x₁+m﹣1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0
由韋達定理得2﹣（m﹣1）+m²﹣m=0
解得m=﹣ 或m=1（舍）
經檢驗m=﹣符合條件，故直線l方程為