Question

已知橢圓方程為（a＞b＞0），它的一個(gè)頂點(diǎn)為M（0，1），離心率e=，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，得，
解得，
∴橢圓方程為；
（Ⅱ）①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，；
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，得，
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴；
當(dāng)k≠0時(shí)，
|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²


，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|AB|=2；
當(dāng)k=0時(shí)，；
綜上所述|AB|_max=2，
此時(shí)△AOB面積取最大值。