函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）設
，證明：
.
（1）（1）當
時，在
上是增函數，在
上是減函數，在
上是增函數；（2）當
時,
在
上是增函數；（iii）當
時，在是
上是增函數，在
上是減函數，在
上是增函數；（2）詳見試題分析．
解析試題分析：（1）首先求函數的定義域，的導數：
，再分，，三種情況，討論函數的單調性；（2）先在（1）的基礎上，當時，由的單調性得
．同理當
時，由的單調性得
．下面再用數學歸納法證明
．
（1）的定義域為
．
（1）當時，若
，則
在上是增函數；若
則
在上是減函數；若
則在上是增函數．
（2）當時,
成立當且僅當
在上是增函數．
（iii）當時，若
，則在是上是增函數；若
，則在上是減函數；若
，則在上是增函數．
（2）由（1）知，當時，在是增函數．當
時，
，即．又由（1）知，當時，在
上是減函數；當
時，
，即．下面用數學歸納法證明．
（1）當
時，由已知
，故結論成立；
（2）假設當
時結論成立，即
．當
時，
，即當時有
，結論成立．根據（1）、（2）知對任何
結論都成立．
考點：1．利用導數研究函數的單調性；2．利用數學歸納法證明數列不等式．
全優沖刺100分系列答案
英才點津系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx，其中a>0，b>0.
(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x) 在它們的交點P(2，c)處有相同的切線(P為切點)，求實數a，b的值；
(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函數h(x)的單調減區間為
.
①求函數h(x)在區間(－∞，－1]上的最大值M(a)；
②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常數．
(1)若a≠b，求證：函數f(x)存在極大值和極小值；
(2)設(1)中f(x)取得極大值、極小值時自變量的值分別為x1，x2，設點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直線AB的斜率為－
，求函數f(x)和f′(x)的公共遞減區間的長度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)對于一切x∈R恒成立，求實數m，a，b滿足的條件．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）求
在區間
上的最大值；
（2）若過點
存在3條直線與曲線
相切，求t的取值范圍；
（3）問過點
分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）
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在
與
處都取得極值. 
，
的值；
，若對任意的
，總存在
，使得：
，求實數
的取值范圍.
，
.
，使
；
，使
，且對（1）中的
.
；
．
.