Question

14．已知數列{a_n}滿足：${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，a₁=1，則a₂₀₁₇=$\frac{2}{2017}$．

Answer 1

分析 關系式的倒數，得到新數列是等差數列，然后求解通項公式，求解即可．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a₁=2，滿足：${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，則 $\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+2}{2{a}_{n}}$⇒$\frac{2}{{a}_{n+1}}-\frac{2}{{a}_{n}}=1$
可得數列{$\frac{2}{{a}_{n}}$}是以1為首項，公差為1的等差數列，∴$\frac{2}{{a}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，即${a}_{2017}=\frac{2}{2017}$
∴${a}_{n}=\frac{2}{n}$．
故答案為：$\frac{2}{2017}$

點評 本題考查了數列的遞推關系式的應用，數列的通項公式的求法--取到數法，考查計算能力．