Question

【題目】已知，函數.

（1）若，證明：當時，；

（2）若是的極小值點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）將代入函數的解析式，得出，構造函數，利用導數求出函數的最大值為，從而可證明出所證不等式成立；

（2）分、和三種情況討論，分析函數的導函數在附近符號的變化，結合條件“是的極小值點”，可得出實數的取值范圍.

（1）若，.

設函數，則.

當時，，當時，，

所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減.

所以在上，.

又因為當時，，所以當時，；

（2）（i）若，由（1）可知當時，，這與是的極小值點矛盾.

（ii）若，對于方程，因為，且，

故方程有兩個實根、，且滿足.

當時，，

結合（1），可得.

這與是的極小值點矛盾.

（iii）若，設函數.

由于當時，，故與符號相同.

又，所以是的極小值點等價于是的極小值點.

.

由得，或.

如果，則當時，，當且時，，所以不是的極小值點.

如果，則當時，，所以不是的極小值點.

如果，則當時，，當時，，所以是的極小值點，從而是的極小值點，此時.

綜上所述，的取值范圍是.