Question

已知函數f(x)=

1

x2-1

．
（1）設f（x）的定義域為A，求集合A；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）f（x）為分式函數，則由分母不能為零，解得定義域；
（2）要求用定義證明，則先在（1，+∞）上任取兩變量且界定大小，然后作差變形看符號．

解答：解：（1）由x²-1≠0，得x≠±1，
所以，函數f(x)=

1

x2-1

的定義域為x∈R|x≠±1（4分）
（2）函數f(x)=

1

x2-1

在（1，+∞）上單調遞減．（6分）
證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），設x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，△y=y2-y1=

1

x 2 2 -1

-

1

x 2 1 -1

=

(x1-x2)(x1+x2)

( x 2 1 -1)( x 2 2 -1)

（8分）
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁²-1＞0，x₂²-1＞0，x₁+x₂＞0．
又x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，故△y＜0．
因此，函數f(x)=

1

x2-1

在（1，+∞）上單調遞減．（12分）

點評：本題主要考查函數定義域的基本求法和單調性定義證明函數的單調性．