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設等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范圍.
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一個值最大,并說明理由.
【答案】分析:(1)由S12>0,S13<0,利用等差數列的前n項和的公式化簡分別得到①和②,然后利用等差數列的通項公式化簡a3得到首項與公差的關系式,解出首項分別代入到①和②中得到關于d的不等式組,求出不等式組的解集即可得到d的范圍;
(2)根據(1)中d的范圍可知d小于0,所以此數列為遞減數列,在n取1到12中的正整數中只要找到有一項大于0,它的后一項小于0,則這項與之前的各項相加就最大,根據S12>0,S13<0,利用等差數列的性質及前n項和的公式化簡可得S1,S2,…,S12中最大的項.
解答:解:(1)依題意,有,


由a3=12,得a1=12-2d③,
將③式分別代①、②式,得
<d<-3.

(2)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13
因此,若在1≤n≤12中存在自然數n,使得an>0,an+1<0,
則Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
,
∴a6>0,a7<0,
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
點評:本小題考查數列、不等式及綜合運用有關知識解決問題的能力,是一道中檔題.
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