Question

【題目】如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且，點M是SD的中點.請用空間向量的知識解答下列問題：

（1）求證：；

（2）求平面SAB與平面SCD夾角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°

【解析】

(1) 以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AS為z軸,建立空間直角坐標系,再證明即可.

(2)分別求出平面SAB與平面SCD的法向量,再利用空間向量的公式求解二面角即可.

解：（1）證明：以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AS為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則,,,,

∴,

∴,

∴

（2）易知,平面SAB的一個法向量為,

由圖知,,,

∴,,

設平面SCD的法向量為,

則,取,得平面SCD的一個法向量為,

設平面SAB與平面SCD的夾角為,

則,故

∴平面SAB與平面SCD夾角的大小為45°