Question

給定兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角θ=60°，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧

AB

上變動．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是

4 3

3

．

Answer 1

分析：本題是向量的坐標表示的應用，結合圖形，利用三角函數的性質，即可求出結果．

解答：解：建立如圖所示的坐標系，則B（1，0），A（cos60°，sin60°），即A（

1

2

，

3

2

）

設∠BOC=α，則

OC

=（cosα，sinα）
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（

1

2

x+y，

3

2

x）
∴

cosα= 1 2 x+y sinα= 3 2 x

∴x=2cosα-

4

3

sinα，y=

2

3

sinα
∴x+y=2cosα+

2

3

sinα=

4 3

3

sin（α+60°）
∵0°≤α≤60°，∴60°≤α+60°≤120°
∴

3

2

≤sin（α-60°）≤1，
∴x+y有最大值

4 3

3

，當α=30°時取最大值．
故答案為

4 3

3

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的性質，確定x，y的關系式是關鍵．