Question

給定兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．
（1）求|

OA

+

OB

|；
（2）如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧

AB

上變動．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，求x+y的最大值？

Answer 1

分析：（1）由已知中兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．我們可得

OA

²=

OB

²=1，

OA

•

OB

=-

1

2

，進而將|

OA

+

OB

|化為

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

的形式，代入即可得到答案．
（2）由已知中C在以O為圓心的圓弧

AB

上變動．我們可設C（cosθ，sinθ），結合

OC

=x

OA

+y

OB

，我們易求出x，y（均含參數θ），進而得到x+y的表達式，根據正弦型函數的性質，易求出x+y的最大值．

解答：解：（1）∵平面向量

OA

和

OB

的兩個長度為1，它們的夾角為120°．
∴

OA

²=

OB

²=1，

OA

•

OB

=-

1

2

|

OA

+

OB

|=

( OA + OB )2

=

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

=1（4分）
（2）如圖所示，建立直角坐標系，則A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

），C（cosθ，sinθ）．
由

OC

=x

OA

+y

OB

，得cosθ=x-

y

2

，sinθ=

3

2

y．
即x=cosθ+

3

3

sinθ，y=

2 3

3

sinθ．
則x+y=

3

sinθ+cosθ=2sin（θ+

π

6

）
又θ∈[0，

2π

3

]，則θ+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
故當θ=

π

3

時，x+y的最大值是2．…（14分）

點評：本題考查的知識點是向量的數量積，向量的模，三角函數的最值，是平面向量與三角函數的綜合應用，其中（1）的關鍵是將|

OA

+

OB

|化為

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

的形式，（2）的關鍵是求出x+y=2sin（θ+

π

6

），將問題轉化為三角函數的最值問題．