Question

已知：數(shù)列是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，并且，.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求不等式對一切均成立最大實(shí)數(shù)；

（Ⅲ）對每一個(gè)，在與之間插入個(gè)，得到新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試問是否存在正整數(shù)，使？若存在求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

2008

解析:

(Ⅰ)設(shè)的公差為，由題意，且，      2分

，數(shù)列的通項(xiàng)公式為   。                     3分

(Ⅱ)由題意對均成立，     4分

記

則。

，隨增大而增大，        6分

的最小值為，

，即的最大值為。      8分

(Ⅲ)，

在數(shù)列中，及其前面所有項(xiàng)之和為

，             10分

，即， 12分

又在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為： ，                 13分

且，

所以存在正整數(shù)使得。      14分

(第（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：∵n∈N，

∴只需證明成立。

（i）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，∴不等式成立。

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即

。

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

，

以下只需證明。

即只需證明。∵。

∴。

綜合（i）（ii）知，不等式對于n∈N都成立。