Question

（本小題滿分14分）

已知：數(shù)列是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，是其前項的和，并且，.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）求不等式對一切均成立最大實數(shù)；

（Ⅲ）對每一個，在與之間插入個，得到新數(shù)列，設是數(shù)列的前項和，試問是否存在正整數(shù)，使？若存在求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:(Ⅰ)設的公差為，由題意，且，      2分

，數(shù)列的通項公式為  。                     3分

(Ⅱ)由題意對均成立，   4分

記

則。

，隨增大而增大，      6分

的最小值為，

，即的最大值為。     8分

(Ⅲ)，

在數(shù)列中，及其前面所有項之和為

，             10分

，即， 12分

又在數(shù)列中的項數(shù)為： ，                 13分

且，

所以存在正整數(shù)使得。    14分

(第（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明：∵n∈N，

∴只需證明成立。

（i）當n=1時，左=2，右=2，∴不等式成立。

（ii）假設當n=k時不等式成立，即

。

那么當n=k+1時，

，

以下只需證明。

即只需證明。∵。

∴。

綜合（i）（ii）知，不等式對于n∈N都成立。