Question

已知圓C₁：x²+y²+2x+2y-8=0與圓C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于A、B兩點．
（1）求公共弦AB的長；
（2）求圓心在直線y=-x上，且過A、B兩點的圓的方程；
（3）求經過A、B兩點且面積最小的圓的方程．

Answer 1

考點：相交弦所在直線的方程,圓系方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先求公共弦AB所在的直線方程，再求出C₁到直線AB的距離，即可求公共弦AB的長；
（2）求出過C₁，C₂的直線與直線y=-x的交點，可得圓心坐標，求出圓心到AB的距離，可得半徑，從而可得圓的方程；
（3）過A、B且面積最小的圓就是以AB為直徑的圓．

解答：解：（1）由兩圓方程相減即得x-2y+4=0，此為公共弦AB所在的直線方程．
圓心C₁（-1，1），半徑r₁=

10

C₁到直線AB的距離為d=

|-1+2+4|

5

=

5

，
∴公共弦長|AB|=2

r12-d2

=2

5

；
（2）圓心C₂（1，-5），過C₁，C₂的直線方程為

y+1

-5+1

=

x+1

1+1

，即2x+y+3=0．
由

2x+y+3=0 y=-x

得所求圓的圓心為（-3，3），
它到AB的距離為d=

|-3-6+4|

5

=

5

，
∴所求圓的半徑為

5+5

=

10

，
∴所求圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10；
（3）過A、B且面積最小的圓就是以AB為直徑的圓
由

x-2y+4=0 2x+y+3=0

，得圓心（-2，1），半徑r=

5

，
∴所求圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=5．

點評：本題考查圓與圓的位置關系，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．