Question

已知a₁＝2，點(a_n，a_n+1)在函數f(x)＝x²＋2x的圖象上，其中n＝1，2，3，…．

(1)求證：數列{lg(1＋a_n)}是等比數列；

(2)設T_n＝(1＋a₁)(1＋a₂)…(1＋a_n)，求T_n及數列{a_n}的通項；

(3)記，求數列{b_n}的前n項和S_n，并證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由已知，得an+1＝an2＋2an， 　　∴an+1＋1＝(an＋1)2．① 　　∵a1＝2，∴an＋1＞1．將①式兩邊取對數，得 　　lg(1＋an+1)＝2lg(1＋an)，即． 　　lg(1＋a1)＝lg(1＋2)＝lg3． 　　∴{lg(1＋an)}是公比為2的等比數列． 　　(2)解：由(1)，知lg(1＋an)＝2n－1lg3＝lg32n－1， 　　∴1＋an＝32n－1② 　　∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320×321×322×…×32n－1＝31+2+22＋…＋2n－1＝32n－1． 　　由②式，得an＝32n－1－1． 　　(3)證明：∵an+1＝an2＋2an，∴an+1＝an(an＋2)． 　　∴． 　　∴． 　　又， 　　∴． 　　∴． 　　∵an＝32n－1－1，a1＝2，an+1＝32n－1， 　　∴． 　　又Tn＝32n－1，∴． 　　思路分析：(1)主要根據已知條件找出相鄰兩項之間的關系，然后再證明；(2)要先求出數列an的通項公式；(3)在解題過程中恰當利用裂項相消可減少運算．