Question

如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的射影為A₁，點B在直線l上的射影為B₁，已知AB＝2，AA₁=1，BB₁＝，求：

（Ⅰ）直線AB分別與平面α，β所成的角的大小；

（Ⅱ）二面角A₁－AB－B₁的大小.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖，連接A₁B，AB₁.

∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，  ∴AA₁⊥β，BB₁⊥α，

則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和β所成的角.

Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2，∴sin∠BAB₁=，

∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，

∴sin∠ABA₁=，        ∴∠ABA₁=30°.

故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°.

（Ⅱ）∵BB₁⊥α，

∴平面ABB₁⊥α，在平面α內過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B.過E作EF⊥AB交AB于F，連接A₁F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB.

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=.

∴Rt△AA₁B₁中，AA₁=A₁B₁=1，∴A₁E=AB₁=.

在Rt△AA₁B中，A₁B=.

由  AA₁?A₁B=A₁F?AB得

A₁F=.

∴在Rt△A₁EF中，sin∠A₁FE=，

∴二面角A₁－AB－B₁的大小為arcsin.

解法二：（Ⅰ）同解法一.

(Ⅱ)如圖，建立坐標系，則A₁（0，0，0），A（0，0，1），B₁（0，1，0），B（，1，0）.

在AB上取一點F（x，y，z），則存在t∈R，使得，

即（x，y，z－1）=t()，

∴點F的坐標為(t，t，1－t).

要使 ，須=0，

即（，t，1－t）?（，1，－1）=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=，

∴點F的坐標為()，

∴= ().

設E為AB₁的中點，則點E的坐標為（0，）.

∴（）

又（）（）=

∴，     ∴∠A₁FE為所求二面角的平面角.

又  cos∠A₁FE=

                    

                    

∴二面角A₁－AB－B₁的大小為arccos.