Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，, AB1與A1B相交于點D，M為B1C1的中點 .

（1）求證：CD⊥平面BDM；

（2）求平面B1BD與平面CBD所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】

（1）先以CB為x軸，CC1為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標系，然后分別確定點B、M、D的坐標，利用向量法證明CD⊥平面BDM．（2）求出平面BDC的法向量和平面B1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1BD與平面CBD所成銳二面角余弦值．

證明：（1）由題意知AC、BC、CC1兩兩垂直，

則以CB為x軸，CC1為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標系．

∵CB，CC1＝AA1＝1，CA＝1，M為B1C1的中點．

∴B（，0，0），M（，1，0），

又∵點D是矩形AA1B1B的兩條對角線的交點，

∴D（，，），

則（），（，1，0），（，），

∴，0，

∴CD⊥BM，CD⊥BD，

又BM∩BD＝B，∴CD⊥平面BDM．

（2）由（1）

（），（），

設平面BDC的法向量（x，y，z），

則，取y＝1，得（0，1，﹣1），

B1（，1，0），（，），（0，1，0），

設平面B1BD的法向量（a，b，c），

則，取a＝1，得（1，0，），

設平面B1BD與平面CBD所成銳二面角為θ，

則cosθ．

∴平面B1BD與平面CBD所成銳二面角的余弦值為．