Question

【題目】已知函數f(x)＝xex－x－ax2.

(1)當a＝時，求f(x)的單調區間；

(2)當x≥0時，f(x)≥0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調遞增，在(－1,0)上單調遞減；

（2）(－∞，1]．

【解析】

(1)當a＝時，函數f(x)＝x(ex－1)－x2，求得函數的導數，分類討論，即可求得函數的單調區間；

(2)由函數f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，利用導數求得函數的單調性，得出函數的取值范圍，即可求解．

(1)當a＝時，函數f(x)＝x(ex－1)－x2，

則f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)，

令f′(x)＝0，則x＝－1或0，

當x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0；

當x∈(－1,0)時，f′(x)<0；

當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上單調遞增，在(－1,0)上單調遞減．

(2)由題意，函數f(x)＝x(ex－1－ax)，

令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a，

若a≤1，則當x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數，

而g(0)＝0，從而當x≥0時，g(x)≥0，即f(x)≥0，

若a>1，則當x∈(0，ln a)時，g′(x)<0，g(x)為減函數，而g(0)＝0，

從而當x∈(0，ln a)時，g(x)<0，即f(x)<0，不符合題意，

綜上，實數a的取值范圍為(－∞，1]．